元曲中的數學魅力

數學魅力之元曲中的數學

文章摘要：元曲中的數字運用比比皆是，隨處可見。有些小曲正因數字的巧妙運用而形成其鮮明的藝術特色，得以廣泛流傳，成爲千古絕唱。曲因數字而生趣，數字因曲而生動。

元曲是我國詩和詞由“雅”轉“俗”時產生的，它活潑生動，俏皮潑辣，更貼近生活。

元曲中的數字運用比比皆是，隨處可見。有些小曲正因數字的巧妙運用而形成其鮮明的藝術特色，得以廣泛流傳，成爲千古絕唱。

如無名氏的《雁兒落帶過得勝令》：

一年老一年，一日沒一日，一秋又一秋，一輩催一輩，一聚一離別，一喜一傷悲，一榻一生臥，一生一夢裏。尋一夥相識，他一會咱一會;都一般相知，吹一回，唱一回。

此曲每一句都用兩個“一”字，層層遞進，以排山倒海之勢嘆華年易逝，光陰催老，聚散無常。

風格類似的還有徐再思的《水仙子·夜雨》：

一聲梧葉一聲秋，一點芭蕉一點愁，三更歸夢三更後。落燈花，棋未收，嘆新豐孤館人留。枕上十年事，江南二老憂，都到心頭。

無名氏的 《中呂·紅繡鞋》也別具特色：

一兩句別人閒話，三四日不把門踏，五六日不來啊在誰家?七八遍買龜兒封。久已後見他麼?十分的憔悴煞。

這支小曲巧妙地運用一、二、三、四、五、六、七、八、九（久）、十等數目字，由小到大，按升序排列，將少女因戀人怕人閒話不敢登門的相思之苦描繪得生動、深刻。

數字本是抽象概念，枯燥單調。但有些詩人運用得巧妙生動，加減乘除，無所不能。語境不同，風格各異。

一、加法入曲

湯式的《雙調·慶東原·京口夜泊》，全曲如下：

故園一千里，孤帆數日程。倚蓬窗自嘆漂泊命。城頭鼓聲，江心浪聲，山頂鐘聲，一夜夢難成，三處愁相併。

曲中除運用一千里、孤帆、一夜、三處等數目字外，加法分析運用巧妙，城頭+江心+山頂=三處，渲染出作者處處憂愁的孤旅及悲寂的遊子情懷。

二、減法入曲

想人生七十猶稀，百歲光陰，先過了三十，七十年間，十歲頑童，十載尪羸。五十歲除分晝黑，剛分得一半兒白日，風雨相催，兔去烏飛。仔細沉吟，都不如快活了便宜。

這是盧摯的《雙調·蟾宮曲》，曲中巧妙地運用了減法。人生百年，就常人而言，先減去無法過的後三十年，只能按七十歲來計算。七十歲，減去十歲頑童，再減去十年尪羸，等於五十年。接着又用除法，五十年的一半是白天，一半是黑夜。

三、乘法入曲

曾有無名氏作這樣一曲《水仙子·遣懷》：

百年三萬六千場，風雨憂愁一半妨。眼兒裏覷，心兒上想，教我鬢邊絲怎地當，把流年子細推詳。一日一個淺酌低唱，一夜一個花燭洞房，能有得多少時光。

一年三百六十日，百年三萬六千場。乘法運用不着痕跡，非常巧妙。

四、除法入曲

問人世誰是英雄?有釃酒臨江，橫塑曹公。紫蓋旗，多應借得赤壁東風。更驚起南陽臥龍便成名八陣圖中。鼎足三分： 一分西蜀，一分江東。

這是阿魯威的《雙調·蟾宮曲》，曲中巧妙運用了除法分析法，將天下分爲三分：一分西蜀，一分江東，一分北魏。

元代張可久還作過這樣一支曲《沉醉東風·秋夜思》：

二十五點秋更鼓聲，千三百里水館郵程。青山去路長，紅樹西風冷。百年人半紙虛名。得似璩源閣上僧，午睡足窗日影。

曲中巧妙運用了除法。古時夜裏以擊鼓記時，每夜五更。二十五點除以五等於五，是五個夜晚。

這樣的例子還能舉出很多，如馬致遠的《折桂令·嘆世》中“咸陽百二山河，兩字功名，幾陣干戈”。姚燧的《調·憑闌人》“博帶峨冠年少郎，高奇雲鬢窈窕娘。我文章你豔妝，你一斤我十六兩”。曲中運用單換算，一斤等於十六兩，指郎才女貌，兩廂相當，妙絕。再如盧摯的《節節高·題洞庭湖鹿角廟壁》中“風微浪息，扁舟一葉，半夜心，三更夢，萬里別”，無名氏的《叨令》中“黃塵萬古長安路，折碑三尺邙山墓，西風一葉烏江渡，夕陽十里邯鄲樹”，等等。

從這些曲中可看出： 曲因數字而生趣，數字因曲而生動。

數學與遊戲 二者之間的關係

文章摘要：從狹義上說，數學中的遊戲是指那些具有娛樂和消遣性質的並帶有數學因素的遊戲和智力難題。總之，數學中有遊戲的精神，遊戲中有數學的思想，要想在兩者之間畫出一道嚴格分明的界限是不可能的。

一般認爲，遊戲是一個廣泛的概念，它包括任何一種旨在消遣時光或尋求娛樂的活動。而數學則是帶有藝術風度的智力工作，同時是具有巨大的實用價值的科學。數學總是和邏輯在一起，數學家在從事研究時一般不是戲謔的，因爲嚴謹和認真是人們對數學的一種追求，遊戲對於數學的作用至多起激發興趣和調節情緒的作用。然而，事實上情況並非那麼簡單。考察一下數學與遊戲的關係，我們發現遊戲與數學的關係非常密切。無論從數學知識的本身，還是數學活動的過程，如從事數學活動的人們的動機、方法等方面都可發現遊戲的因素。

首先，就數學知識本身來說，在傳統數學領域和現代數學領域中都可發現大量賞心悅目的具有遊戲性質的內容和問題。在算術中，畢達哥拉斯學派對於完全數和親和數等數字的奇特性的研究，以及用石塊的遊戲列出的有趣定理都具有遊戲的性質。在代數中，三次方程早已出現在公元前1900-1600年巴比倫的泥板書中，當時並沒有實際的問題導致三次方程，顯然巴比倫人把這個問題當作消遣。公元前3世紀阿基米德提出“羣牛問題”導致包含8個未知數的代數不定方程組。5-6世紀《張丘建算經》中記載的“百雞問題”導致3元不定方程組。幾何學中的遊戲趣題更是花樣繁多，如由勾股定理所編制的大量趣題、古希臘人研究的角的三等分、倍立方體和化圓爲方三大幾何作圖問題以及對割圓曲線等奇異曲線的研究、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面的問題，等等。許多深奧的、嚴肅的數學也帶有遊戲的情趣。例如，從16世紀以來，在微積分中人們對大量種類的奇形怪狀的曲線的研究顯然帶有娛樂的性質。最早純粹關於消遣性數學問題的書籍出現於17世紀，其後200年中，數學中的遊戲及迷題的種類和數量大增。在此時期人們的興趣大都集中在數字的奇特性、單純的幾何迷題、算術故事問題、魔（術）方（塊）、賭博等遊戲。到了19世紀，人們的興趣開始轉向一些現代數學領域，如拓撲學、組合幾何、圖論、邏輯學、概率論等，其中研究對象性質的奇特性、推理方法的迷惑性、以及各種組合問題和幾何圖形操作的靈活多變性等都是給人以樂趣的、帶有遊戲色彩的問題。

其次，數學作爲一項人類活動，自古以來一直是一個享有特權的人類智力活動領域，被看成是人類智力的象徵。它能使參與者產生情感方面的體驗，給人樂趣。因此，許多人不單是因爲數學有用而研究數學，他們的出發點則是把數學作爲一種自娛自樂的遊戲，一種高級的心理追求和精神享受。許多數學思想是人們鍥而不捨地思索一個令人迷惑的概念或問題的結果。有些人可以就一些問題和趣題連續工作幾個小時，甚至花費幾天、幾年的時間去探討那起初從表面上看來不過是消遣的東西，直至細枝末節，以求得徹底解決。例如，幾何學起源於實際的需要，然而幾何學的繁榮發展卻開始於古希臘。儘管希臘人把幾何看作與對於世界本質的思索一樣嚴肅的事，但實際上希臘人卻把幾何當作智力遊戲對待，他們的大部分工作本質上都具有遊戲的性質-遠離功利，滿足好奇心和求知慾，有閒人的消遣，比如他們把大部分的精力都集中在許多單純的幾何迷題上。可以說數學只是希臘人的一個高級玩具，而並非一個有用的工具。

數學即遊戲的觀念在19世紀數學變爲一種職業以後仍然在發揮作用，實際上這種觀念一直持續到現代。在此，引用愛因斯坦於1918年4月所講的一段意味深長的話：“許多人愛好科學，是因爲科學給了他們異呼尋常的智力上的快感，對於這些人科學是一種特殊的娛樂；還有許多人之所以把他們的智力奉獻給科學祭壇，爲的是純粹的功利。如果把這兩類人都趕出神聖的殿堂，那麼，這裏的人就會大爲減少…”愛因斯坦的這段描述在科學殿堂活躍的人們的話同樣也適用於數學。著名數學家哈代曾說：激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力，正如希爾伯特所說：“問題就在那裏，你必須解決它”。正是這種永不滿足的激情吸引了大批的人獻身於數學，從而導致了大量問題離奇地綻開數學的嫩牙。可以說數學在其成長和發展中一直伴隨着遊戲的精神。

這種數學即遊戲觀念並非出於偶然，從本質上作一番考察，我們會發現數學與遊戲具有許多共同的特點，它們的關係是相互滲透、相互統一的關係，這種統一主要體現在活動的性質、結構的形式以及實踐三個方面。

首先，數學與遊戲作爲兩項人類活動具有許多共同的性質特徵。有些社會學家曾經對遊戲進行了深入的分析，以下性質是遊戲的基本特徵：

1.遊戲是一種“自由活動”，“自由”在希臘語中的意思是“無報酬的”，即活動本身是爲了鍛練，而不是爲了從中獲取利益。

2.遊戲在人類的發展中起着“一定的作用”。幼兒從遊戲中豐富情感、獲得知識、發展智力和能力，從而爲將來的競爭和生活作準備。成年人玩遊戲則是爲了體驗解放、迴避和放鬆、滿足好奇心等感覺。

3.遊戲不是玩笑，作遊戲必須相當認真。不認真對待的人是在糟蹋遊戲。

4.遊戲就像藝術工作一樣，在深思熟慮、實施以及取得成功的過程中能夠得到巨大的樂趣。

5.通過遊戲規則可以創造一種新秩序和充滿和諧韻律的世界。

6.遊戲有自己獨立的時間和空間。……

顯然，數學作爲一項人類的活動也具有以上所有的特點，從這一點來講，數學的確是一種遊戲。

其次，數學與遊戲的系統結構也有共同的形式。數學具有演繹體系或稱爲公理化系統，這種系統由不加定義的概念（原始概念），不加證明的命題（公理）組成。其中原始概念的含義由公理體現出來。任何遊戲在一開始都是介紹一些對象或部件，一系列的規則，這些對象或部件的作用由那些規則所決定。兩者的相似是顯然的，它們的差異只是叫法不同而已，數學中的不加定義的概念對應着遊戲中的對象或部件，公理對應着遊戲的規則，數學中的定理則對應着遊戲過程中的每一狀態。兩個系統中都有“定義”，也都有“證明”。

正是由於數學與遊戲的形式結構的相似，20世紀初數學哲學中形式主義學派的代表人物希爾伯特（ert）有一個極端的觀點：“數學是根據某些簡單規則使用毫無意義的符號在紙上進行的遊戲。”

第三，數學與遊戲的實踐也有共同的特徵。任何人在開始做遊戲時，都必須對它的規則有一定的瞭解，將各部件的相互聯繫弄清楚，就像數學的初學者那樣，用同樣的方法比較並建立該理論中的基本元素之間的相互作用，這些就是遊戲和數學理論的基本練習。無論在數學中還是在遊戲中，較深層次的、更復雜的步驟和策略的運用都需要特殊的洞察力。

在玩高級遊戲的過程中，總是有問題出現，人門總想要在從未探索過的遊戲情境中用首創的方法來解決，這對應於數學理論中未解決的問題的研究。在創造新遊戲的過程中，需要設計情境，給出新穎的策略和創造性的遊戲方式。將其與創立新的數學理論相類比的話，就相當於提出新穎的思想和方法，並將之應用於其它未解決的問題，從而更深刻地揭示現實生活中某些至今尚不明瞭的真理。

因此，從廣義上來講，可以說數學是一種遊戲，只不過這種遊戲要涉及到科學、哲學、藝術等更廣泛的人類文化範圍。從狹義上說，數學中的遊戲是指那些具有娛樂和消遣性質的並帶有數學因素的遊戲和智力難題。正是由於數學與遊戲之間的共性，許多問題和內容很難說是應歸於純數學研究還是歸於有趣的智力遊戲；更難於區分人們對於數學的興趣是由於數學中的遊戲因素，還是由於數學的其他因素。總之，數學中有遊戲的'精神，遊戲中有數學的思想，要想在兩者之間畫出一道嚴格分明的界限是不可能的。

數學與遊戲 遊戲對數學發展的影響[1]

文章摘要：數學中有遊戲的精神，遊戲中有數學的思想，要想在兩者之間畫出一道嚴格分明的界限是不可能的。人們從事數學活動，就是在進行某種趣味四溢的遊戲，數學中的遊戲因素給數學帶來了無窮的魅力，從而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了數學的發展。…

數學與遊戲是緊密的聯繫在一起，因此在某種程度上可以說，遊戲精神是數學發展的主要動力之一。人們從事數學活動，就是在進行某種趣味四溢的遊戲，數學中的遊戲因素給數學帶來了無窮的魅力，從而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了數學的發展。因而，不論是數學家還是一般的遊戲者都促進了數學事業的發展。此外，遊戲對數學的發展還表現在另外三個方面：遊戲激發了許多重要數學思想的產生，遊戲促進了數學知識的傳播，遊戲是數學人才發現的有效途徑。

遊戲激發了許多重要數學思想的產生

數學史上經常出現這種情況，許多數學思想起源於對於一些令人迷惑不解的問題的鍥而不捨地探索，這些問題往往從表面上看來不過是供人消遣的遊戲而已，甚至看來與數學的情境毫無關係，然而最後問題的解決卻產生令人意想不到的新的數學思想。例如，自古以來，悖論出現在廣泛的學科範圍，包括文學、科學、數學。不管什麼類型的悖論，其中的創造性和令人困惑的推理都充滿了趣味和給人異乎尋常的智力上的快感。特別地，數學的悖論不僅可以供人娛樂，而且還是很好的智力練習和發現的樂土，許多數學學科的完善都與悖論有關，如實數理論、微積分、集合論等。可以說數學中幾乎每一門學科都或多或少受到遊戲精神的激發而得到發展，最典型的例子是概率論、圖論和組合數學建立。

概率論直接起源於一個關於賭博的遊戲。17世紀，法國的一個名爲德.梅勒的職業賭徒針對賭博中常常遇到“怎樣合理分配賭注”問題，向著名數學家帕斯卡請教，這個問題常常稱爲“點子問題”，即兩個賭徒中誰先積滿一定數目的點誰就贏得一局；如果在一局結束以前離開賭場，他們應該如何分配賭注?帕斯卡和費馬在通信中各自解決了這個問題。對於這個問題的解決和研究標誌着不同於以往確定性數學的一種嶄新的數學方法—概率論的誕生，它把純粹偶然事件的表面上的無規律性置於規律、秩序和規則之下，從而成爲人類的根本知識之一，並具有廣泛應用價值。正如拉普拉斯所說：“這門起源於靠運氣取勝的遊戲的科學，竟然成了人類知識的最重要的一部分”

圖論也是一門起源於遊戲的學科，它起源於歐拉關於哥尼斯堡七橋問題的研究。哥尼斯堡是東普魯士首府，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋將河中的兩個島和河岸連接，一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經過一次?當時大多數人都把這當作有趣的娛樂，但是歐拉發現這個問題可以導向一個另外的契機，他抓住了這個契機並加以發展。1735年，歐拉向聖彼得堡科學院提交了一篇論文，歐拉把這個問題的物理背景變換並簡化爲一種數學設計（稱作圖或網絡）：即把每一塊陸地用一個點來代替，將每一座橋用連接相應的兩個點的一條線來代替，從而相當於得到一個圖。歐拉證明了這個問題沒有解。歐拉指出歐幾里得幾何並不適用於這個問題，因爲橋不涉及“大小”，也不能用“量化計算”來解決。相反地，這問題屬於“位置幾何”（萊布尼茨描述拓撲學時首先使用的名稱）。所以，哥尼斯堡七橋問題的解決遠遠超出了它的娛樂價值，由此提出的新思想則開闢了數學的一個新的領域-圖論。當然遊戲娛樂對於圖論的作用並沒有到此爲止，此後許多著名的數學遊戲成爲圖論和拓撲學發展的催化劑和導引，如哈密爾頓問題（繞行世界問題）、四色猜想等。

另一個與遊戲密切相關的學科是組合數學。組合數學是研究任意一組離散性事物按照一定規則安排或配置方法的數學。二十世紀以前，人們主要從遊戲的角度來研究組合數學，例如中國的魔方、縱橫圖、巴歇砝碼問題、柯可曼女生問題、歐拉36名軍官問題等等。這些問題推動人們去思考，它們的解答也常常是機智和精巧的。在這個過程中，人們得到了組合數學中一般的存在性定理和計數原理，如抽屜原理、母函數方法、遞歸關係解法、容斥原理等。

事實上，數學學科中一些最偉大的成就，像射影幾何、數論、拓撲學、對策論等無不受到遊戲精神的影響。總之，由遊戲的精神激發出來的數學對象是無止境的。當人們以自願而嬉笑的心境，而不是以正式的科學常有的嚴肅認真的背景來看待一門學科時，這種精神就能使科學有效地取得進展。這是因爲在解決和創造智力題或遊戲的過程中，人們可以不受傳統理論概念或方法論的束縛，完全自由地顯示他的想象力和發揮他的創造力。正因爲如此，遊戲成爲嚴肅數學的出發點，有時成爲某些學科產生和發展的催化劑。

遊戲對於數學的另一作用是促進了數學知識的傳播

遊戲之所以具有難以抗拒的魅力的一個很重要的原因是遊戲所涉及的問題和內容有趣迷人、淺顯易懂。另外又不需要過多的預備知識，只要掌握一般的基本知識，初學者即可登堂入室，理解某一門學科的許多的重要內容。正像讀過幾部偵探小說的人會情不自禁地覺得自己已有了足夠的本領，可以幫助警方破案一樣。因此數學遊戲常被用來作爲嚴肅數學的一種表現方式，使之更易理解和更具趣味。遊戲在數學普及和傳播中的有效性一直伴隨數學的成長和發展過程中。在人們津津樂道、相互傳誦遊戲的過程中，也將有關的數學知識和數學思想傳送給四面八方的人。下面是歷史上這一傾向的幾個典型例子。

成書於公元前1700年的古埃及的阿默士紙草書（也稱Rhind紙草書）是爲當時的貴族和祭祀階層所作的數學普及性的一個問題集（有人說是教科書），其中有些問題是以有趣的歌謠或故事的形式編寫而成。因此流傳很廣，如第79 題關於幾何級數的加法問題又演變成“我去聖地愛弗斯”等歌謠流傳於歐洲幾個國家。

文章摘要：數學中有遊戲的精神，遊戲中有數學的思想，要想在兩者之間畫出一道嚴格分明的界限是不可能的。人們從事數學活動，就是在進行某種趣味四溢的遊戲，數學中的遊戲因素給數學帶來了無窮的魅力，從而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了數學的發展。…

歐幾里得也在已經失傳的一本名爲《糾錯集》（Pseudaria）的書中使用了一組有趣的謬論，作爲激勵他的學生進入正確思維過程的手段。阿基米德在他的《數沙粒者》一書開始就說：“過去有個叫吉倫（Gelon）的國王，他認爲沙粒的數量是無限的……”，這種以遊戲的方式來處理數學的情境的目的就是使他的思想更爲人們所理解和接受。

中世紀意大利數學家斐波那契（J. Fibonacci）的《算盤書》是一本廣泛流傳於歐洲各國的著作，這本書流傳的原因除了它的內容實用之外，還因爲把數學內容寓於生動有趣的遊戲之中，如“兔子繁殖問題”、“蓄水池問題”、“野兔和獵狗”、“七個老婦”等幾乎成爲家喻戶曉、人人皆知的數學遊戲。此書喚起了歐洲人對於數學的興趣和重視，爲以後歐洲數學的復興奠定了基礎。

在世界各地都曾經流傳一些著名的數學遊戲，如古代中國的韓信點兵、百雞問題、七巧板、大衍求一術（該問題被多種數學著作改頭換面地採用）。古印度的蓮花問題、蜜蜂問題……等等。

從19世紀末期開始，由於人們意識到遊戲在數學知識的普及與傳播中的獨特的作用，關於數學遊戲的收集、編造以及解答等方面的研究受到空前地重視，在衆多的研究者中，影響最大的是美國科普作家馬丁.加德納（M. Gardner）的工作，他曾在美國的著名科普雜誌《科學美國人》（Scientific Americian）上主持“數學遊戲”專欄。他工作的特點是把許多數學思想或知識寓於各種奇妙有趣的故事和問題之中。這些題目初看似乎很難，有時冥思苦索，百思不得其解，但如果放開思路，打破框框，從各種角度去考慮，也許很快就會有所突破，具有“啊呵!靈機一動”的特點。這些妙趣橫生的作品使數以百萬計的人陶醉於數學樂園之中。以後這些趣題被彙集成冊以各種文字出版多次，其影響廣泛而又持久。最近，英國數學家康韋（ay）等人在所作的《數學遊戲獲勝的方法》一書中說：“馬丁.加德納比任何人將更多的數學帶給了千百萬人。”這句話在肯定了馬丁.加德納的貢獻的同時，也道破了遊戲對於數學傳播的有效性。

遊戲也常常成爲數學人才發現的有效途徑，從而成爲他們進入數學研究的踏腳石

歷史上許多數學家是由於解決了某個遊戲難題而發現自己具有數學潛能，從此放棄其他選擇而獻身數學。

高斯在數學史上是與阿基米德、牛頓等人並列的數學家，有“數學王子”之稱， 他填補了古典數學家遺留的許多空白，而又爲現代數學開闢了許多意義深遠的新道路。高斯成爲數學告別過去走向現代的一個象徵。這樣一位大數學家以數學爲職業卻是由於在他19歲那年解決了一個長期困擾數學界的、帶有遊戲色彩的幾何作圖難題-用尺規作出了一個正十七邊形，這一成功使他對自己的數學纔能有更加明確的認識，於是，他毅然放棄自己所喜愛的語言學而投身於數學。

著名的法國概率學家西米爾.泊松（S. D. Poisson）年青時曾經爲找到一個適合自己的職業而大傷腦筋，他的父親要他學醫或法律，但他缺少這方面的慾望。正在苦苦尋覓之時，一道趣題使他意識到自己的習性和興趣傾向於數學方面。以此爲開端，他開始了數學研究生涯。一道遊戲趣題而成爲他一生的轉折點。

一般來說，許多具有數學潛能的人往往從小表現出對遊戲的迷戀和酷愛，以及在解決方法上的靈活和機智。所以遊戲往往成爲檢測一個人的數學和推理能力的一個標準。如果說上述例子還不足以說明這一點的話，還可以舉出許多涉足過遊戲的數學家名字：對賭博癡迷終生的意大利數學家卡爾達諾；由魔術師成爲20世紀有影響力的美國數理統計學家戴康尼斯（Persi Diaconis）；從小就以玩遊戲出名的英國數學家康韋（J .H. Conway）、此外還有萊布尼茨、伯努利、哈密爾頓、馮-諾伊曼等，遊戲成爲自我檢測數學才能的試金石。現在各種數學競賽中包含許多數學遊戲，這種做法實際上也是基於“遊戲可用於選拔數學人才”的理念。

數學與遊戲 遊戲在數學教育中的作用

文章摘要：某些棋類或字母遊戲提供了公理系統的體驗，從而使遊戲成爲學生從具體過度到抽象數學證明的橋樑。通過遊戲也會使學生體會到數學的另一種精神：數學不是一門一成不變的課程，數學知識也不是絕對的真理，“數學是人類心靈的自由創造。”…

古往今來的數學教育的理論和實踐都已證明遊戲對於數學教育具有極大的價值。對此，馬丁.加德納曾經作了相當正確的評價“喚醒學生的最好的辦法是向他們提供有吸引力的數學遊戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認爲無意義而避開的其他東西。”具體說來，遊戲在數學教育中的有效性主要表現在以下三個方面：

首先，遊戲是數學內容獲得的有效方法之一。因爲遊戲爲不同年齡層次的人提供了這樣的機會-通過具體的經驗去爲今後所必須學習的內容作準備。例如摺紙的遊戲，摺紙的對象是一個正方形的紙張，留在正方形的紙張上的摺痕揭示出大量幾何的對象和性質：相似、軸對稱、心對稱、全等、相似形、比例、以及類似於幾何分形結構的迭代。摺紙的過程也極具啓發性：開始用一個正方形（二維物體）的紙張來折一個立體（三維物體）。如果折出了新的東西，那麼摺紙的人就把這個立體攤開並研究留在正方形紙上的摺痕。這個過程包含了維數的變動。一個二維物體到三維物體，又回到二維，這就跟投影幾何的領域發生了關係。

其次，遊戲與數學結構的相似性保證了遊戲有利於數學思維的培養，從而使學生更深刻地理解數學的精神。例如，計算機遊戲可以發展幾何的空間感覺和意識；某些棋類或字母遊戲提供了公理系統的體驗，從而使遊戲成爲學生從具體過度到抽象數學證明的橋樑。通過遊戲也會使學生體會到數學的另一種精神：數學不是一門一成不變的課程，數學知識也不是絕對的真理，“數學是人類心靈的自由創造。”或者說數學思想是人的想象力的虛構物和創造物。數學世界獨立於我們的現實世界，儘管它和現實世界以不可思議的對應聯繫起來，併成爲人類認識自然界和認識人類社會自身的有效工具。這正是數學的奇妙所在。

最後，遊戲可以培養正確的數學態度。這一點主要體現在兩個方面，一方面，遊戲是培養好奇心的有效方法之一，這是由遊戲的性質決定的-趣味性強、令人興奮、具有挑戰性等。好奇心又爲探索數學現象的奧祕提供了強大的動力。如果學生沒有對於這門學科的強烈興趣和探索未知問題的好奇心，那麼數學學習將是一項艱苦而緩慢的工作。許多數學家開始對某一問題作研究時，總帶着與小孩子玩新玩具一樣的興致，先是帶有好奇的驚訝，在神祕被揭開後又有發現的喜悅。

另一方面，遊戲還可以培養培養學生養成樂意吸取不同的思路、勇於創造的研究態度。許多研究人員都爲遊戲和不同思路之間的關係之密切提供了大量的事例。例如，一個小女孩玩積木時，可能會嘗試着用不同的組合方法來觀察把一塊積木放在另一塊上面時，擺多少塊可以不到下來。她邊玩邊對自己的設想進行判斷，充分發揮了她的主動性和創造性。並且，她還可以用從遊戲中所獲得的思路和方法去解決其他的問題。在遊戲時所用的不同思路就是在爲某種任務或問題尋找解決方案，因此，可以說遊戲是研究的最高形式。愛因斯坦在1954年說過的一句話就指出了這一點：“要獲得最終的或邏輯的概念的願望，也就是玩一場結果不明的遊戲的感情基礎。……這種組合遊戲看來就是創造性思維的重要表現形式。”

對於數學教育來說，遊戲的方法並不能代替一切，但如果在正規嚴肅的教學方法之外多爲學生提供機會參加一些遊戲，或至少提供一本好的數學遊戲選集，即在教學中摻入遊戲的精神，那麼數學教育將會起到事半功倍的效果。遊戲可以使任何水平的學生都從自己的最佳觀測點面對每一個題材。學生除了學到數學的內容，體驗數學的思維方式，還可以培養正確的學習態度：不同的思路、創造、動力、興趣、熱情、喜悅……。

總之，遊戲對數學的教育價值和重要意義是不容忽視的。

趣味數學 九的乘方循環

文章摘要：中國人喜歡說“九”，在數學上，數字9有很多有趣的性質，如果一個數的各位數字都是9，那麼它的平方就會出現一種循環，即把平方的結果分成左右兩半，再把這兩部分相加，所得的和正好等於原數。

中國人喜歡說“九”。唐代詩人劉禹錫在《浪淘沙九首》裏寫道：

九曲黃河萬里沙，浪淘風簸自天涯。如今直上銀河去，同到牽牛織女家。

民謠裏說：天下黃河九十九道彎。

實際上黃河的彎曲多得數不清，“九曲”或“九十九道彎”都只是用數字9來形容多。

在數學上，數字9有很多有趣的性質。例如，如果一個數的各位數字都是9，那麼它的平方就會出現一種循環：

92=81，8+1=9；

992=9801，98+01=99；

9992=998001，998+001=999；

99992=99980001，9998+0001=9999；

等等。在上面這些等式中，把平方的結果分成左右兩半，再把這兩部分相加，所得的和正好等於原數。

如果把平方換成立方，會出現什麼情況呢?試試看。

93=729，7+2=9；

993=970299，97+02=99；

9993=997002999，997+002=999

下面一個輪到99993了。不做運算，能夠猜出得數來嗎?

按照以上三個式子類推，似乎應該是

99993= 999700029999，9997+0002=9999

當然這只是一個猜想，究竟對不對，還要實際算下來才知道。利用上面的平方的結果，可以很快算出結果如下：

99993=99992×9999

=99980001×9999

=(99980000+1)×9999

=9998×10000×9999+9999

=(99992-9999)×10000+9999

=(99980001-9999)×10000+9999

=99970002×10000+9999

=999700029999

計算結果與猜想一致，可見猜想正確。

數學趣題 智辨帽色

甲、乙、丙三人都很聰明，頭腦機靈，推理能力很強。那麼，誰最聰明呢?有人動出點子，想出一個很不尋常的測試方法。

他向甲、乙、丙三人出示了三頂紅帽子、兩頂黑帽子，並明確交代，等一會給你們每個人頭上都要戴頂帽子，全是從這五頂中取來的，別無其他帽子。

三人都點點頭，表示理解。於是，測試者拿過三把椅子，請他們一一就座，前後排成一列，並用手帕矇住他們的眼睛，然後，給每一位的頭上加冠戴帽。

完成這些動作後，測試者又命人同時除去了矇住甲、乙、丙三人眼睛的手帕。他們眼前頓然一亮。不過，由於座位的巧妙安排，坐在最後的丙可以看到甲、乙兩人；坐在中間的乙可以看到甲；而坐在最前面的甲則看不見其他人。

測試者先問丙：“你知道自己頭上所戴帽子的顏色嗎?”丙想了一想，搖了搖頭。

測試者向乙提了同樣的問題，乙思考了一下，也搖了搖頭。最後，當測試者問到甲時，甲卻說，他已經知道了自己頭上所戴帽子的顏色。

真是怪極了，什麼也看不到的甲何以能判斷出頭上帽子的顏色呢?他憑什麼來進行推斷的?

（提示：倒推法或“順手推舟”）

這是一則著名的邏輯名題，吸引了大量讀者。有人認爲，這種“順水推舟”的狀態推理，實質上就是一種比較特殊的數學歸納法。美國數學傳播名家約瑟夫?馬達基（chy）在其著作與講演中，曾多次提到此題。此人對數學趣題極其着迷，最後竟連自己的老本行化學都放棄了，而歸化於數學，成爲《遊戲數學》雜誌的創辦人與編輯部主任，足見數學問題的魅力。

最美數字世界 看數學如何與藝術相遇

文章摘要：提起數學，你會覺得它是乏味、枯燥的，數學家們不總是以嚴謹甚至呆板的形象示人嗎?現在我們要討論的是，數學與藝術結合後，會發生什麼奇妙的變化?這些藝術作品將以何種形象印刻在公衆的心靈?

光明日報光明網，數學藝術相遇章。數學乏味與枯燥，數家嚴謹呆板象?

數學藝術結合後，生何奇妙變化狀?藝術作品何形象，公衆心靈衝與撞?

好萊塢映今九月，盜夢空間全球浪。頭腦風暴夢設計，數理哲心尤假象。

來源數學與幾何，回憶大片深印象。荷蘭圖形藝術家，埃舍爾畫上下行。

無限樓梯蛇迷宮，現實世界不存象。歐氏空間真世界，非歐空間曲面徜。

視覺感官大不同，相對運動彎曲象。影片夢境設計師，尋問傳統打破象?

電影達芬奇密碼，同名小說取材妝。驚智解謎結合典，密碼數學宗教裝。

錯落有致植情節，高潮迭起故事暢。斐波納契數列陣，意數家書算盤創。

兔子問題數列示，黃金分割商鄰項。最美數字世界上，天地大美中西方。

空間邏輯與畫廊，巔峯之作一生當。極限能力思與現，觀站己觀畫中彰。

空間邏輯拓撲探，二維空間三維恍。既在畫內又畫外，藝術效果何爲繮?

方格草圖找答案，順時連排格邊框。畫面中間成一洞，奇異點稱數家常。

影視文學美術外，數學音樂美術創。普遍應用融與合，生動完美更流暢。

數學作曲序列樂，上紀五零行西方。技術發展計算機，電子三維動畫上。

數家打開領域廣，己未進入大門向。天性興趣開門方，而非門後花園芳。

智慧表達埃舍爾，贈人玫瑰手留香。開後花園領公衆，數學藝術家擔綱。

注：作者讀光明網2010-11-27刊發《光明日報》記者張蕾“看數學如何與藝術相遇”而作。