初一下冊幾何證明 證明書
初一下冊幾何證明
1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線，D是EF中點，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別爲x,y,z，求證：x=y+z
證明;過E點分別作AB,BC上的高交AB,BC於M,N點.
過F點分別作AC,BC上的高交於P,Q點.
根據角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
過D點做BC上的高交BC於O點.
過D點作AB上的高交AB於H點,過D點作AB上的高交AC於J點.
則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因爲D 是中點,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可證FP=2DJ。
又因爲FQ=FP,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因爲角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點，所以2DO=FQ+EN
又因爲
FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因爲X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交於點O，若∠BON=108°，請問結論BM=CN是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。
當∠BON=108°時。BM=CN還成立
證明;如圖5連結BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線交AC與N，則角NBC=( )
3°
因爲AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因爲AB的垂直平分線交AC於N，設交AB於點D，一個角相等，兩個邊相等。所以，Rt△ADN全等於Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中，P，Q分別爲BC，CD邊上的點。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ
延長CB到M，使BM=DQ，連接MA
∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP爲公共邊
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ
5.正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC於點P,求證DP⊥NP
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵MB=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP
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1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線，D是EF中點，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別爲x,y,z，求證：x=y+z
證明;過E點分別作AB,BC上的高交AB,BC於M,N點.
過F點分別作AC,BC上的高交於P,Q點.
根據角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
過D點做BC上的高交BC於O點.
過D點作AB上的高交AB於H點,過D點作AB上的高交AC於J點.
則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因爲D 是中點,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可證FP=2DJ。
又因爲FQ=FP,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因爲角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點，所以2DO=FQ+EN
又因爲
FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因爲X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交於點O，若∠BON=108°，請問結論BM=CN是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。
當∠BON=108°時。BM=CN還成立
證明;如圖5連結BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線交AC與N，則角NBC=( )
3°
因爲AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因爲AB的垂直平分線交AC於N，設交AB於點D，一個角相等，兩個邊相等。所以，Rt△ADN全等於Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中，P，Q分別爲BC，CD邊上的點。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ
延長CB到M，使BM=DQ，連接MA
∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP爲公共邊
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ
5.正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC於點P,求證DP⊥NP
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵MB=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP
