數學歸納法證明整除 證明書

數學歸納法證明整除
數學歸納法
當n=1 的時候
上面的式子 = 3^4-8-9=64
成立
假設 當n=k 的時候
3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
當n=k+1
式子= 3^(2k+4)-8k-17
=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
因爲 3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能夠被64整除
n=k+1 時 ，成立
根據上面的由數學歸納法
3的2n+2次方-8n-9(n屬於N*)能被64整除。
2
當n=1時 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除.....(特殊性)
設當n=k時，仍然成立。
當n=k+1時，.....................(一般性)
3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64
因爲3^(2k+2)-8k-9能被64整除
不用寫了吧..
正確請採納
數學歸納法
當n=1 的時候
上面的式子 = 3^4-8-9=64
成立
假設 當n=k (k>=1)
3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
當n=k+1(k>=1)
式子= 3^(2k+4)-8k-17
=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出
n=k+1 時 ，成立
根據上面的由數學歸納法
3的2n+2次方-8n-9(n屬於N*)能被64整
3.證明:對於任意自然數n (3n+1)*7^n-1能被9整除
數學歸納法
(1)當n=1時 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假設當n=k時 (3k+1)*7^k-1能被9整除
則當n=k+1時 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括號中的代數式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以當n=k+1時 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
綜合(1)(2)可知 對於任意自然數n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除
4證明：
(1)n=1時，3^(6n)-2^(6n) =3^6-2^6=665=19*35，命題成立
(2)假設n=k時命題成立，即
35能整除3^(6k)-2^(6k)
即3^(6k)-2^(6k)=35m (m∈Z+)
則n=k+1時
3^(6n)-2^(6n)
=3^(6k+6)-2^(6k+6)
=(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)
=64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)
=64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)
=64*35m+19*35*3^(6k)
=35*[64m+19*3^(6k)]
即n=k+1時，35能整除3^(6n)-2^(6n)
綜合(1)(2)由數學歸納法知：
對於一切正整數n，35能整除3^(6n)-2^(6n)
===============
給定任意正整數n，設d(n)爲n的約數個數，證明d(n)<2√n
證明：
若n存在一個約數a<√n
則n/a=b是n的另一個約數，且b>√n
顯然a,b是一一對應的
∵a<√n
∴a的個數<√n
∴b的個數<√n
∴d(n)=a的個數+b的個數<2√n5假設n=k時成立 得3^(6k)-2^(6k)能被35整除
3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)
=(3^6-1)3^(6k)-(2^6-1)*2^(6k)
=728*3^(6k)-63*2^(6k)
=63*(3^(6k)-2^(6k))+665*3^(6k)
因爲665/35=19 所以 3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)可以被35整除
那麼由3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)+3^(6k)-2^(6k)
=3^(6k+1)-2^(6k+1)
可得到
3^(6k+1)-2^(6k+1)
必定可以被35整除
當n=1時3^(6n)-2^(6n)能被35整除
所以 證明完成