數學瑰寶《夢溪筆談》範例

宋代是中國古代數學最輝煌的時期之一。北宋大科學家沈括的名著《夢溪筆談》中，有10多條有關數學的討論，內容既廣且深，堪稱我國古代數學的瑰寶。

沈括最重要的數學探討是隙積術和會圓術。隙積術在我國數學史上開闢了高階等差級數求和的研究領域，對高階等差級數的研究始自沈括。

所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒罈、疊起來的棋子等，這類堆積體整體上就像一個倒扣的鬥，與平截頭的長方錐(芻童)很像。但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式。沈括經過思考後，發現了正確的計算方法。他以堆積的酒罈爲例說明這一問題：設最上層爲縱橫各2個罈子，最下層爲縱橫各12個罈子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒罈共11層;每個酒罈的體積不妨設爲1，用芻童體積公式計算，總體積爲3784/6，酒罈總數也應是這個數。顯然，酒罈數不應爲非整數，問題何在呢?沈括提出，應在芻童體積基礎上加上一項“(下寬-上寬)×高/6”，即爲110/6，酒罈實際數應爲(3784+110)/6=649。加上去的這一項正是一個體積上的修正項。在這裏，沈括以體積公式爲基礎，把求解不連續的個體的累積數(級數求和)，化爲連續整體數值來求解，可見他已具有了用連續模型解決離散問題的思想。

會圓術是對圓的弧矢關係給出的比較實用的近似公式，主要思想是局部以直代曲。沈括進一步應用《九章算術》中弧田的面積近似公式，求出弧長，這便是會圓術公式。沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當圓心角小於45°時，相對誤差小於2%，所以該公式有較強的實用性。這是對劉徽割圓術以弦(正多邊形的邊)代替圓弧思想的.一個重要佐證，很有理論意義。後來，郭守敬、王恂在曆法計算中，就應用了會圓術。

在《夢溪筆談》中，沈括還應用組合數學法計算得出圍棋可能的局數是3 361種，並提出用數量級概念來表示大數3 361的方法。沈括還在書中記載了一些運籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來搶救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、運輸，最後又將建築垃圾填河成路的方法來修復皇宮等。沈括對數的本質的認識也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數。”顯然他否定了數的神祕性，而肯定了數與物的關係。他還指出：“然算術不患多學，見簡即用，見繁即變，乃爲通術也。”